Numerische Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung

Das Anfangswertproblem, beschrieben durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung

y(t,y(t)) = f(t,y(t)) für t0 ≤ t ≤ tEnd und y(t0) gegeben

wird numerisch mit verschiedenen expliziten Einschritt-Verfahren gelöst, d.h. es wird y(t) näherungsweise bestimmt.
Die ermittelte Lösung wird grafisch und in Form einer Tabelle ausgegeben.

Sollte die Differentialgleichung in anderer Form gegeben sein, muss man sie erst einmal durch Umstellen auf die angegebene Form bringen,
d.h. nach der 1. Ableitung y auflösen. Das Programm erwartet dann nur die rechte Seite als Eingabe und die Anfangsbedingung.

Das Programm verwendet t als unabhängige Variable, weil typische Anwendungen bei Anfangswertproblemen
die Zeit als unabhängige Variable haben. Hat man also ein Differentialgleichung mit x als unabhängiger Variablen, muss man alle x durch t ersetzen.

Das jeweils verwendete Verfahren und die gewählte Schrittweite Δt der Integration bestimmen maßgeblich die Güte der Näherungslösung.
Für alle Verfahren ist der Wert Δt auch die Schrittweite für die grafische Ausgabe.
Das gilt auch für das Runge-Kutta-Verfahren mit automatischer Schrittweitensteuerung. Intern wird hier aber mit problemangepasster Schrittweite gerechnet.

Euler-Verfahren
Heun-Verfahren
verbessertes Euler-Verfahren
Runge-Kutta-Verfahren (3. Ordnung)
Runge-Kutta-Verfahren (4. Ordnung)
Runge-Kutta-Verfahren (4. Ordnung mit Schrittweitensteuerung)
y(t,y) = y(t0)
t0 tEnd Δt Beispiele




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