Numerisches Integrieren von Differentialgleichungssystemen

Es werden hier Systeme von (maximal 4) Differentialgleichungen 1. Ordnung numerisch gelöst.
Dazu muss die Aufgabestellung im Sinne eines Anfangswertproblems in folgender Form formuliert sein:

y•(t) = f(t,y(t)) mit y(0)=y0

Der Vektor y(t) enthält die Lösungen y1(t), y2(t), ... .
Der Vektor y(0) enthält die Anfangswerte der gesuchten Lösungen.

Bestimmt wird die Lösung in Abhängigkeit der unabhängigen Veränderlichen t für 0 ≤ t ≤ tEnd.
Die Lösung wird grafisch als Funktionsverlauf und optional auch als Wertetabelle ausgegeben.
Die hier verwendeten Verfahren sind explizite Einschrittverfahren, eines davon mit Schrittweitensteuerung, wodurch die besten Ergebnisse erzielt werden.

   



Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Auch eine Differentialgleichung n-ter Ordnung (hier n ≤ 4) lässt sich lösen, indem man sie zunächst in ein Differentialgleichungssystem von n Differentialgleichungen 1. Ordnung umwandelt.
Dazu werden n-1 Hilfsvariablen für die Ableitungen y• bis y(n-1) eingeführt und als n-te Gleichung die Differentialgleichung nach ihrer höchsten Ableitung y(n) aufgelöst.

So kann man die Differentialgleichung 2. Ordnung

y•• + a1(t) y• + a0(t) y = f(t)

lösen, indem man das folgende System erstellt:

y1• = y2
y2• = f(t) - a1(t) y2 - a0(t) y1

y1(t) ist dann die gesuchte Lösung y(t) und y2(t) die zugehörige 1. Ableitung.

Bei einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y(n) + an-1y(n-1) + ... + a2y•• + a1y• + a0y = f(t)

entsteht so ein System von Differentialgleichungen 1.Ordnung, das man mit einer Matrix A folgendermaßen schreiben kann:

y• = A y + f.

Das Belegungsmuster dieser quadratischen Matrix A ist dabei:

 0    1    0    ...               0
 0    0    1    0   ...          0
 0    0    0    1   0   ...     0
 ⁝         ...                       ⁝ 
 0        ...                0    1
-a0 -a1 -a2   ...            -an-1

Es handelt sich dabei um die sogenante Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms.

Zu den Beispielen

Beispiel 1: freie ungedämpfte Schwingung
Beispiel 2: freie gedämpfte Schwingung
Beispiel 3: zwangserregte gedämpfte Schwingung mit Erregung oberhalb der Resonanzfrequenz
Beispiel 4: zwangserregte ungedämpfte Schwingung mit Erregung in der Resonanz
Beispiel 5: Einschwingvorgang bei Erregerfrequenz oberhalb der Resonanzfrequenz
Beispiel 6: Einschwingvorgang bei Erregerfrequenz unterhalb der Resonanzfrequenz
Beispiel 7: harmonisch zwangserregte gedämpfte Schwingung mit kurzer Störung der Erregung bei 20s (entfacht nochmal die homogene Lösung)
Beispiel 8: zwangserregte gedämpfte Schwingung mit 2 verschiedenen Erregerfrequenzen
Beispiel 9: Einschwingvorgang beim aperiodischen Grenzfall
Beispiel 10: Nichtlineare freie Schwingung (Pendel bei großen Amplituden)
Beispiel 11: Nichtlineare freie Schwingung (Reibungsdämpfung)
Beispiel 12: Nichtlineare freie Schwingung, Wackelschwinger (Rückstellkraft ist nichtlinear)
Beispiel 13: Nichtlineare freie Schwingung (Rückstellkraft ist proportional zum Quadrat der Auslenkung
Beispiel 14: Differentialgleichung 3. Ordnung mit Impulsanregung (über kurzen Rechteckimpuls)
Beispiel 15: Differentialgleichung 4. Ordnung mit Impulsanregung (über Anfangsbedingung)
Beispiel 16: elastisch abgefederter Aufprall einer bewegten Masse auf eine ruhende Masse
Beispiel 17: Impulsantwort eines ungefesselten, gedämpften 2-Massenschwingers
Beispiel 18: Räuber-Beute-Modell (Lotka-Volterra-Gleichungen)


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