Numerisches Integrieren von Differentialgleichungssystemen
Es werden hier Systeme von (maximal 4) Differentialgleichungen 1. Ordnung numerisch gelöst.
Dazu muss die Aufgabestellung im Sinne eines Anfangswertproblems in folgender Form formuliert sein:
y•(t,y(t)) = f(t,y(t)) mit y(0)=y0
Der Vektor y(t) enthält die Lösungen y1(t), y2(t), ... .
Der Vektor y(0) enthält die Anfangswerte der gesuchten Lösungen.
Bestimmt wird die Lösung in Abhängigkeit der unabhängigen Veränderlichen t für 0 ≤ t ≤ tEnd.
Die Lösung wird grafisch als Funktionsverlauf und optional auch als Wertetabelle ausgegeben.
Die hier verwendeten Verfahren sind explizite Einschrittverfahren, eines davon mit Schrittweitensteuerung, wodurch die besten Ergebnisse erzielt werden.
Auch eine Differentialgleichung n-ter Ordnung (hier n ≤ 4) lässt sich lösen, indem man sie zunächst in ein Differentialgleichungssystem von n Differentialgleichungen 1. Ordnung umwandelt.
Dazu werden n-1 Hilfsvariablen für y• bis y(n-1) eingeführt und als n-te Gleichung die Differentialgleichung
nach ihrer höchsten Ableitung y(n) aufgelöst.
So kann man die Differentialgleichung 2. Ordnung a(t)y•• + b(t)y• + c(t)y = f(t) lösen, indem man das folgende System erstellt:
y1• = y2
y2• = (f(t) - b(t) y2 - c(t) y1)/a(t)
y1(t) ist dann die gesuchte Lösung y(t) und y2(t) die zugehörige 1. Ableitung.
Zu den Beispielen
Beispiel 1: freie ungedämpfte Schwingung
Beispiel 2: freie gedämpfte Schwingung
Beispiel 3: zwangserregte gedämpfte Schwingung mit Erregung oberhalb der Resonanzfrequenz
Beispiel 4: zwangserregte ungedämpfte Schwingung mit Erregung in der Resonanz
Beispiel 5: Einschwingvorgang bei Erregerfrequenz oberhalb der Resonanzfrequenz
Beispiel 6: Einschwingvorgang bei Erregerfrequenz unterhalb der Resonanzfrequenz
Beispiel 7: harmonisch zwangserregte gedämpfte Schwingung mit kurzer Störung der Erregung bei 20s (entfacht nochmal die homogene Lösung)
Beispiel 8: zwangserregte gedämpfte Schwingung mit 2 verschiedenen Erregerfrequenzen
Beispiel 9: Einschwingvorgang beim aperiodischen Grenzfall
Beispiel 10: Nichtlineare freie Schwingung (Pendel bei großen Amplituden)
Beispiel 11: Nichtlineare freie Schwingung (Reibungsdämpfung)
Beispiel 12: Nichtlineare freie Schwingung, Wackelschwinger (Rückstellkraft ist nichtlinear)
Beispiel 13: Nichtlineare freie Schwingung (Rückstellkraft ist proportional zum Quadrat der Auslenkung
Beispiel 14: Differentialgleichung 3. Ordnung mit Impulsanregung (über kurzen Rechteckimpuls)
Beispiel 15: Differentialgleichung 4. Ordnung mit Impulsanregung (über Anfangsbedingung)
Beispiel 16: elastisch abgefederter Aufprall einer bewegten Masse auf eine ruhende Masse
Beispiel 17: Impulsantwort eines ungefesselten, gedämpften 2-Massenschwingers
Beispiel 18: Räuber-Beute-Modell (Lotka-Volterra-Gleichungen)