Lineare Gleichungssysteme

Es werden hier beliebige lineare Gleichungssysteme, inhomogene und homogene, gelöst.
Die Koeffizientenmatrix darf dabei einen beliebigen Rangabfall haben.
Das Gleichungssystem wird in Matrix-Darstellung bereitgestellt:

A x = b.

A ist die Koeffizientenmatrix und b ist der Vektor der rechten Seite.
Der Lösungsvektor x wird mit Hilfe des Gauss'schen Algorithmus bei vollständiger Pivot-Suche und, falls erforderlich, Spaltentausch bestimmt.

Eine eindeutige Lösung existiert nur, wenn die Matrix A nicht singulär ist, d.h. wenn det(A)≠0 gilt.

Für den Fall det(A)=0 und Rang(A)<Rang(A|b) ist das System nicht lösbar.

Für den Fall det(A)=0 und Rang(A)=Rang(A|b), kann man eine allgemeine Lösung angeben.
Die allgemeine Lösung ist die Summe einer partikulären Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und der mit Hilfe freier Parameter (λi) gebildeten Linearkombination der Lösungen des homogenen Gleichungssystems.
Die partikuläre Lösung wird hier so bestimmt, dass sie orthogonal zu den Lösungen des zugehörigen homogenen Gleichungssystems ist.
Werden nicht alle Zeilen des Gleichungssystems gefüllt, entsteht ein unterbestimmtes Gleichungssystem, dessen allgemeine Lösung, falls sie existiert, einen oder mehrere Parameter hat.
Die Anzahl der λi entspricht dem Rangabfall der Matrix.

Alle Zellen können Zahlen oder Formeln enthalten, die vor dem Auflösen des Gleichungssystems jeweils neu bewertet werden.
Nicht belegte Zellen werden als 0 interpretiert, man muss also Nullen nicht angeben.
Zusätzlich kann man eigene Parameter bzw. Variablen festlegen, die man dann in den Zellen des Gleichungssystems benutzen kann.




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