Ebene Kräftesysteme
 

Vektoren und ihre Eigenschaften

Ein Vektor ist in der Mathematik eine gerichtete Größe, die man durch einen Pfeil darstellt.
Ein Vektor ist damit geeignet gerichtete physikalische Größen, wie z.B. Kräfte, darzustellen.
Ein Vektor hat 3 Eigenschaften: Bei geometrischen Vektoren ist der Betrag seine Länge.
Im 2-dimensionalen Raum ist die Richtung der Winkel zwischen der Geraden, entlang der Vektor ausgerichtet ist,
und der positiven Seite der x-Achse.
Die Orientierung legt fest, auf welcher Seite des Pfeiles die Spitze liegt (Zielpunkt) und wo das andere Ende ist (Fußpunkt).

Im 2-dimensionalen Raum kann man einen Vektor darstellen über seine 2 Koordinaten.
Die 2 Koordinaten eines Vektors kann man im Koordinatensystem als Koordinaten der Pfeilspitze ablesen, wenn man den Fußpunkt in den Ursprung legt.

Vektoren lassen sich relativ einfach grafisch addieren.
Die einzelnen Vektoren werden dazu einfach (in beliebiger Reihenfolge) aneinandergehängt.
Der Summenvektor ist dann der Verbindungsvektor vom Anfang der Vektorkette zu ihrem Ende.
In der Mechanik nennt man den Summenvektor von Kraftvektoren die resultierende Kraft oder kurz auch die Resultierende.

Zentrales ebenes Kräftesystem

Ein zentrales ebenes Kräftesystem ist gegeben, wenn die betrachteten Kräfte an einem gemeinsamen Angriffspunkt angreifen.
Für die Betrachtung von Starrkörpern kann man eine jede Kraft entlang ihrer Wirkungslinie verschieben, ohne dass sich die Wirkung auf den Starrkörper ändert.
Dann hat man auch ein zentrales Kräftesystem, wenn sich die Wirkungslinien aller betrachteten Kräfte in einem Punkt schneiden.
Die Resultierende eines zentralen Kräftesystems kann man durch vektorielle Addition der betrachteten Kräfte erzeugen.
Die Wirkungslinie der Resultierenden geht durch den gemeinsamen Angriffspunkt der Kräftegruppe.
Die so erzeugte Resultierende ist dann dem ursprünglichem Kräftesystem äquivalent. Man kann sie somit anstelle des Kräftesystems verwenden.

Grafisch ergibt sich die Resultierende als Verbindungsvektor vom Anfang hin zum Ende des Kräftepolygons aller Kräfte.

Analytisch berechen kann man die Resultierende aus den Koordinaten der beteiligten Kräfte:
FRx = F1x + F2x + ... + Fnx
FRy = F1y + F2y + ... + Fny

Allgemeines ebenes Kräftesystem

Auch beim allgemeinen ebenen Kräftesystem kann man die Resultierende durch vektorielle Addition der Kräfte erzeugen.
Die Wirkungslinie dieser Resultierenden muss man aber noch bestimmen, indem man Momentengleicheit der Kräftegruppe einerseits
und der Resultierenden andererseits bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes (z.B. des Ursprungs) fordert.

Das Moment einer Kraft mit den Koordinaten Fx und Fy und Angriffsort A(x/y)
bezüglich des Punktes B(xB/yB) berechnet sich dabei zu:
M(B) = Fy · (x-xB) - Fx · (y-yB).
Das Moment einer Kraft mit den Koordinaten Fx und Fy und Angriffsort A(x/y)
bezüglich des Ursprungs berechnet sich dann zu:
M(0) = Fy · x - Fx · y.

Die Momente aller Kräfte einer Kräftegruppe kann man dann (unter Beachtung ihres Vorzeichens) zum Gesamtmoment addieren.

Wenn die Resultierende vom Betrage 0 ist, gibt es 2 Möglichkeiten:
- entweder dem Kräftesystem entspricht dann ein Kräftepaar (Moment)
- oder das Kräftesystem ist kräfte- und momentenfrei (Gleichgewichtszustand).

Kräfteplan beim zentralen Kräftesystem

Gleichgewicht beim zentralen Kräftesystem ist genau dann gegeben, wenn sich das Krafteck aller Kraftvektoren schließt.
Der Kräfteplan besteht aus der Vektorkette aller beteiligten Kraftvektoren.
Das sind
- vorgegebene Lastvektoren
- Reaktionskräfte derart, dass sich ein geschlossenes Krafteck ergibt

Mit Hilfe des Kräfteplans lassen sich somit die für Gleichgewicht erforderlichen Reaktionskräfte bestimmen.


weitere JavaScript-Programme