Rechnen mit Brüchen
Hier kann man ganz einfach Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren und kürzen.
Ergebnis der Bruchrechnung ist dann im Allgemeinen ein Bruch, der, falls möglich, durch vollständiges Kürzen vereinfacht wird.
Rechenregeln
Brüche multiplizieren
Das ist hier die einfachste der Grundrechenoperationen.
Zähler und Nenner der beiden Brüche werden einfach getrennt ausmultipliziert und bilden dann jeweils den Zähler bzw. Nenner des Ergebnisses:
a/b * c/d = a*c / (b*d)
Brüche dividieren
Dies wird auf ein Produkt zurückgeführt: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.
Den Kehrwert eines Bruches erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht:
a/b / (c/d) = a/b * d/c = a*d / (b*c)
Achtung:
Beim Dividieren durch einen Bruch mit dem /-Operator muss man für den Divisor (Teiler) Klammern verwenden.
Das liegt daran, dass die Eingabe bei gleichrangigen Operatoren stets von links nach rechts abgearbeitet wird.
So ist das Ergebnis von
1 / 5/3
nicht etwa der Kehrwert von 5/3 sondern (1/5)/3 = 1/15.
Den Kehrwert von 5/3 erhält man demnach mit 1/(5/3) oder mit (5/3)^-1.
Einfacher geht die Division mit dem gegenüber dem /-Operator etwas schwächer priorisierten :-Operator:
So liefert
1/5 : 5/6
6/25, das Ergebnis der Divison der beiden Brüche.
Brüche addieren
Für die Summe von 2 Brüchen mit gemeinsamem Nenner muss man nur die Zähler addieren:
a/b + c/b = (a + c)/b.
Im Allgemeinen müssen 2 Brüche vor dem Addieren zuerst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.
Der einfachste (aber nicht beste) gemeinsame Nenner zweier Brüche ist das Produkt der Nenner der beiden Brüche.
Man erweitert dabei jeden Bruch mit dem Nenner des jeweiligen anderen Bruchs.
Mit diesem gemeinsamen Nenner kann man die Summe zunächst formal schreiben als:
a/b + c/d = a*d/(b*d) + c*b/(d*b)
Da die Brüche nun einen gemeinsamen Nenner haben, ist nun der Zähler des Summenbruchs die Summe der Zähler der beiden Brüche:
a/b + c/d = (a*d + c*b) / (b*d)
Analog gilt für die Differenz von 2 Brüchen:
a/b - c/d = (a*d - c*b) / (b*d)
Damit der Nenner nicht zu groß wird, ist es besser das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der beiden Brüche als Nenner für die Summe zu verwenden.
Dazu erweitert man die Summe formal mit diesem kgV:
a/b + c/d = (a*kgV(b,d)/b + c*kgV(b,d)/d) / kgV(b,d)
Die Summanden dieses Ausdrucks lassen sich durch Kürzen in ganzzahlige Zahlen überführen.
Das kgV von 2 ganzen Zahlen a und b ist das Produkt der Potenzen aller in den beiden Zahlen enthaltenen Primfaktoren, jeweils in der höheren Potenz der Primfaktor-Zerlegungen von a und b.
So gilt z.B. kgV(12, 90) = kgV(2*2 * 3, 2 * 3*3 * 5) = 2*2 * 3*3 * 5 = 180.
Wenn 2 Zahlen a und b keine gemeinsamen Primfaktoren haben (wie 12=2*2*3 und 35=5*7) gilt natürlich: kgV(a,b) = a*b.
Brüche erweitern
Ein Bruch kann durch Erweitern in eine andere Darstellung gebracht werden ohne dass sich sein Wert ändert.
Dazu werden Zähler und Nenner mit dem gleichen ganzzahligen Faktor k (k ∈ ℤ\{0}) multipliziert:
a/b = (a*k)/(b*k)
Brüche kürzen
Wenn bei einem Bruch die Primfaktorzerlegungen von Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren enthalten, kann man den Bruch kürzen.
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen ganzzahligen Faktor k (k ∈ ℤ\{0}) geteilt.
Ein vollständig gekürzter Bruch enthält nach dem Kürzen in Zähler und Nenner keine gemeinsamen Primfaktoren mehr.
Auch Gleichungssysteme mit Brüchen als Ergebnis lassen sich lösen: Lineare Gleichungssysteme mit Brüchen.
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