Lineare Gleichungssysteme
Es werden hier beliebige lineare Gleichungssysteme (auch unterbestimmte) mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus gelöst.
Das Gleichungssystem in Matrix-Darstellung ist:
A x = b.
A ist die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems, b ist der Vektor der rechten Seite und x ist der gesuchte Lösungsvektor.
Zur Eingabe
Alle Zellen können Dezimalzahlen oder Formeln enthalten, die vor dem Auflösen des Gleichungssystems jeweils neu bewertet werden.
Nicht belegte Zellen werden als 0 interpretiert, man muss also Nullen nicht angeben.
Optional kann man eigene Parameter bzw. Variablen anlegen, die man dann in den Zellen des Gleichungssystems benutzen kann.
Ein Wechsel der Eingabezelle ist mit TAB und mit den Cursor-Tasten möglich. CR löst eine Berechnung aus.
Mathematischer Hintergrund
Eine eindeutige Lösung existiert genau dann, wenn die Matrix A nicht singulär ist, d.h., wenn det(A)≠0 gilt.
Für den Fall det(A)=0 und Rang(A)<Rang(A|b) ist das System nicht lösbar.
A|b ist dabei die um die rechte Seite des Gleichungssystems erweiterte Koeffizientenmatrix.
Bei homogenen Gleichungssytemen mit b=0 kann dieser Fall nicht auftreten. Sie sind immer lösbar.
Für den Fall det(A)=0 und Rang(A)=Rang(A|b), ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Es existieren unendlich viele Lösungen.
Man kann diese Lösungen in Form einer allgemeinen Lösung angeben.
Die allgemeine Lösung ist die Summe einer partikulären Lösung des inhomogenen Gleichungssystems
und der mit Hilfe freier Parameter λi (λi ∈ ℝ) gebildeten Linearkombination der Lösungen des homogenen Gleichungssystems.
Die partikuläre Lösung wird hier so bestimmt, dass sie orthogonal zu den Lösungen des homogenen Gleichungssystems ist.
Diese partikuläre Lösung entspricht dann übrigens auch der Lösung A+ b, die man mit Hilfe der Pseudoinversen A+ bestimmen kann.
Auch wenn nicht alle Zeilen des Gleichungssystems gefüllt werden, entsteht ein unterbestimmtes Gleichungssystem,
dessen allgemeine Lösung, falls sie existiert, ebenfalls einen oder mehrere Parameter λi hat.
Die Anzahl der λi entspricht der Differenz der Unbekanntenanzahl und des Rangs der Matrix A. Diese Differenz wird als Defekt der Matrix bezeichnet.
Wenn nicht alle Spalten des Gleichungssystems gefüllt werden, entsteht ein überbestimmtes Gleichungssystem.
Das Gleichungssystem hängt von weniger Variablen ab als es Gleichungen hat.
Im Allgemeinen führt das zu Widersprüchen zwischen den Gleichungen. Ein solches System hat dann keine Lösung.
Ergebnisdarstellung
Die Ergebnisse werden auf 4 signifikante Ziffern gerundet dargestellt.
Eine andere Ergebnisdarstellung erhält man mit einer leicht abgespeckten Version: Gauß'scher Algorithmus mit Brüchen.
Ergebnisse dargestellt als Brüche sind exakt, weil das Runden entfällt.
Komplexe lineare Gleichungssysteme
Wenn die Koeffizientenmatrix A und/oder der Vektor der rechten Seite b komplexe Zahlen enthält,
benötigt man den Gauß'schen Algorithmus für komplexe Zahlen.
Wie man die Koeffizientenmatrix erstellt
In Matrizenschreibweise ist ein lineares Gleichungssystem darstellbar als:
A x = b.
Die Matrix A und der Vektor b müssen gegeben sein um damit den Vektor x zu bestimmen.
Hat man ein Gleichungssystem mit n Gleichungen gegeben, muss man damit die n×n-Matrix A und den Vektor b erstellen.
Dazu werden Terme, die keine Unbekannte enthalten durch Addition oder Subtraktion auf die rechte Seite des Systems gebracht.
Terme mit Unbekannten, die auf der rechten Seite stehen, werden ebenfalls durch Addition oder Subtraktion auf die linke Seite des Systems gebracht.
Ferner werden die in den Gleichungen enthaltenen Terme derart umsortiert, dass die Unbekannten in jeder Gleichung in gleicher Reihenfolge erscheinen:
Beispiel:
5a - 3c - 7b + 8 = 0
b - a - 2c = -4
c = a + b
Terme der rechten und linken Seite richtig zugeordnet (dieser Schritt ist häufig nicht notwendig):
5a - 3c - 7b = -8
b - a - 2c = -4
c - a - b = 0
Umsortiert (Reihenfolge der Unbekannten im Prinzip beliebig, hier lexikalisch):
5a - 7b - 3c = -8
-a + b - 2c = -4
-a - b + c = 0
Nun kann man die Faktoren vor den Unbekannten a,b,c der linken Seite in dieser Reihenfolge zeilenweise
in die Koeffizienten-Matrix A übertragen.
Das ergibt dann für A die Belegung:
Ist in einer Gleichung eine der Unbekannten nicht enthalten, wird in der Koeffizientenmatrix 0 eingetragen.
Den Vektor der rechten Seite b füllt man mit den Zahlen der rechten Seite des Gleichungssystems.
Man erhält dann das System bestehend aus Matrix und rechter Seite:
| A | │ | b |
| 5 | -7 | -3 | │ | -8 |
| -1 | 1 | -2 | │ | -4 |
| -1 | -1 | 1 | │ | 0 |
Nach Abschluss der Berechnung enthält der Lösungsvektor x die gesuchten Unbekannten in der
Reihenfolge, die man beim Aufstellen des umsortierten Gleichungssytems gewählt hat.
Bei dem Programm Allgemeine Gleichungssysteme kann man Gleichungen direkt eingeben. Hier muss man keine Koeffizientenmatrix erstellen.
Gauß'scher Algorithmus
Ziel ist es eine vollbesetzte Matrix auf obere Dreiecksgestalt zu bringen:
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Der Algorithmus geht dabei von links nach rechts spaltenweise vor.
Zuerst wird die Spalte unterhalb des 1. Diagonalelements zu 0 gemacht,
dann die Spalte unterhalb des 2. Diagonalelements zu 0 gemacht, usw.
Das jeweilige Diagonalelement ist das sogenannte Pivotelement.
Es muss ungleich 0 sein.
Ist das nicht der Fall, sucht man unterhalb des Pivotelements nach einem Element ungleich 0.
Gibt es kein solches Element, ist die Matrix singulär und der Algorithmus bricht ab.
Anderfalls tauscht man die gefundene Zeile mit der, in der das Pivotelement steht.
Die Spalte unterhalb des Pivotelements wird nun dadurch zu 0, dass man geeignete Vielfache
der Zeile mit dem Pivotelement zur jeweiligen anderen Zeile addiert.
Ein wiederkehrender Schritt ist es also alle Zellen unterhalb einer Diagonalzelle zu 0 zu machen:
* * * * * * | *
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* * * * | *
* * * * | *
* * * * | *
* * * * | *
Ein geeignetetes Vielfaches der Zeile n mit dem Pivoelement an,n erhält man für die Zeile n+1
indem man die Zeile n mit -an+1,n/an,n multipliziert.
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