Randwertproblem bei linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung
Für die gewöhnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
A(x) y'' + B(x) y' + C(x) y = D(x)
wird hier das Randwertproblem auf dem Intervall [a,b] numerisch gelöst.
Die beiden Randbedingungen sind allgemein formuliert:
sa y'(a) + ta y(a) = ra
sb y'(b) + tb y(b) = rb
si = 0 und ti ≠ 0 ist eine Dirichlet-Randbedingung.
si ≠ 0 und ti = 0 ist eine Neumann-Randbedingung.
si ≠ 0 und ti ≠ 0 ist eine Robin-Randbedingung.
Zur Lösung der Randwertaufgabe werden alternativ 2 FEM-Verfahren, ein Differenzenverfahren und ein Schießverfahren verwendet.
Die numerische Lösung wird jeweils an n Punkten des Intervalls [a,b] bestimmt und grafisch dargestellt.
Zu den Berechnungsverfahren
Bei den FEM-Lösungen wird das Galerkin-Verfahren verwendet.
Anders als bei Problemstellungen der Strukturmechanik sind die Elementmatrizen hier i.A. nicht symmetrisch.
Die verwendeten FEM-Ansatzfunktionen für die Rechnung mit kubischem Ansatz sind:
g1(ξ) = 1 - 3ξ2 + 2ξ3
g2(ξ) = ξ - 2ξ2 + ξ3
g3(ξ) = 3ξ2 - 2ξ3
g4(ξ) = -ξ2 + ξ3
Die verwendeten FEM-Ansatzfunktionen für die Rechnung mit linearem Ansatz sind:
g1(ξ) = 1 - ξ
g2(ξ) = ξ
ξ ist eine dimensionslose Variable, die sich für ein Element der Länge L mit der lokalen Koordinate x aus ξ=x/L errechnet.
Die verwendeten zentralen Differenzenquotienten sind:
y'(xi) ≈ (yi+1 - yi-1)/2h
y''(xi) ≈ (yi-1 - 2yi + yi+1)/h2
und für die Randbedingungen:
y'(a) ≈ (-3y1 + 4y2 - y3)/2h
y'(b) ≈ (yn-2 - 4yn-1 + 3yn)/2h
Bei den FEM-Verfahren und dem Differenzenverfahren entsteht jeweils ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Lösungen an den Knotenpunkten.
Das Gleichungssystem hat in allen Fällen eine Bandstruktur. Für die Lösung werden nur Matrizenelemente aus diesem Band gespeichert und verwendet.
Der verwendete Gauß'sche Algorithmus für Bandmatrizen löst das Gleichungssystem auch bei vielen Knoten extrem schnell.
Das Schießverfahren kommt ohne Gleichungssystem aus, weil es die Randwertaufgabe auf eine Anfangswertaufgabe zurückführt.
Es werden dabei 2 Rechenläufe gemacht mit einer jeweils anderen zusätzlichen Anfangsbedingung.
Zum Schluss werden die beiden Lösungen geeignet linearkombiniert, so dass die Randbedingung am Intervallende erfüllt ist.
Im Unterschied zu den anderen Verfahren liefert das Schießverfahren Ergebnisse, die weitgehend unabhängig von der Anzahl der Auswertepunkte sind,
weil die Zeitschrittintegration intern mit automatischer Schrittweitensteuerung erfolgt,
so dass die Genauigkeit der Berechnung auch bei kleiner Anzahl von nach außen sichtbaren Stützstellen nicht leidet.
Zu den Ergebnissen
Für das Differenzenverfahren und das FEM-Verfahren mit linearen Ansatzfunktionen werden die Ergebnisse für die grafische Darstellung linear interpoliert.
Bei der Berechnung mit Hilfe von FEM mit kubischem Ansatz sowie beim Schießverfahren wird die Lösung mittels Polynomen 3.Grades interpoliert.
Bei dieser sogenannten Hermite-Interpolation kommen wieder die Ansatzfunktionen des kubischen Ansatzes zur Anwendung.
Zu den Beispielen
Im Falle einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und einer nicht zu komplizierten rechten Seite (wie in den ersten Beispielen)
lässt sich die Lösung noch geschlossen mit Ansatztechniken für die homogene Lösung und die partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen.
Im Falle einer linearen Differentialgleichung mit veränderlichen Koeffizienten oder komplizierterer rechter Seite hingegen ist eine Lösung in der Regel nur numerisch möglich.
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